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政法干警《行測》余數(shù)法巧解一類多位數(shù)問題
http://www.imnuonuo.com       2011-08-24      來源:河北公務員網
【字體: 】              

    2009年三省聯(lián)考中出現(xiàn)了這樣一道試題:

【例1】由1、2、3組成的沒有重復數(shù)字的所有三位數(shù)之和為多少?( )

          A.1222    B.1232

          C.1322    D.1332

 

        對于本題,通常有以下三種解法:

 

解1:由這三個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)有123、132、312、321、213、231六個,簡單相加可知答案為1332,因此本題應選擇D。

 

解2:由這樣3個數(shù)字組成的三位數(shù)的個數(shù)總共有個,由于3個數(shù)字的地位是完全相同的,所以這3個數(shù)字在各個位數(shù)上出現(xiàn)的次數(shù)相同,也即在各個位數(shù)上出現(xiàn)6÷3=2次。因此在各個位數(shù)上,這6個數(shù)的加和為(1+2+3)×2=12,因此這6個數(shù)的和為12×(100+10+1)=12×111=1332。因此本題應選擇D。

 

解3:因為1+2+3=6為“3”的倍數(shù),所以由1、2、3組成的沒有重復數(shù)字的任意三位數(shù)也能夠被3整除,因此其和也能被3整除,備選項中只有D能被3整除,因此本題應選擇D。

 

       以上三種解法中,解1最平凡,操作起來也最繁瑣,尤其當數(shù)字較多時,就很難進行下去;解2的操作具有可推廣性,計算量小,技巧性也較強,但是思維過程顯得有些“繞”,對于數(shù)學基礎較差的學生不易掌握;解法3巧用數(shù)字特性,解題快捷簡便,利于學生掌握,但是卻存在一點不足,就是四個選項中兩個或兩個以上的備選項對于3同余的情況很容易出現(xiàn),這時就不能唯一確定答案了。

 

      針對解2和解3中存在的缺陷,我們加以彌補,便可得到下面兩種新的解法:

 

解4:由解2的操作過程我們可以輕松推導出這樣的結論,即由n個(不同的)非零一位數(shù)組成沒有重復數(shù)字的所有n位數(shù)之和是(n個1)的倍數(shù)。所以例1中的求和結果必為111的倍數(shù),經驗證只有選項D滿足要求,因此選擇D選項。

 

      解4的方法利用從解2方法中得出的一個結論,巧用數(shù)字特性解題,思維簡單機械,容易記憶掌握,而(n個1)與3不同,備選項中出現(xiàn)兩個或兩個以上的選項能被(n個1)整除的可能性較低,但該方法也并非盡善盡美,因為判斷一個數(shù)是否為(n個1)的倍數(shù)并沒有簡便的方法,需要直接作除法驗證。于是,我們在解3的基礎上,得到下面的解法5——余9法。

 

解5:因為1+2+3=6,所以由1、2、3組成的沒有重復的任意三位數(shù)除以9的余數(shù)為6,而由這樣3個數(shù)字組成的三位數(shù)的個數(shù)總共有個,每一個除以9余6,因此其和除以9余6×6=36,又36÷9=4,因此其和也為9的倍數(shù),選項中只有D滿足,因此選擇D選項。

 

      解5結合了解2中的計數(shù)思想與解3中的數(shù)字特性思想,并利用計算問題中常使用的余9法,解題過程簡單快捷,容易掌握,且9與3不同,備選項中出現(xiàn)兩個或以上的選項關于9同余的可能性也很小,因此該方法可操作性也很強,個人認為,解法5是解決此類多位數(shù)問題的最佳方法!

 

      最后,我們用解5作答下面一道類似的題目,該題來源于模塊寶典157頁的例16。

 

【例2】由3、4、6、7、9組成的沒有重復數(shù)字的所有五位數(shù)之和為多少?( )

         A.7733256     B.15466512

         C.23199768    D.38666280

 

[答案]A

[解析]因為,所以由這樣5個數(shù)字組成的任意五位數(shù)除以9余2,而這樣五個數(shù)字組成的五位數(shù)一共有個,所以其和除以9的余數(shù)為,利用棄9法不難判斷四個選項中只有A除以9余6,因此本題選A。

 

 

       政法干警考試更多復習技巧可參考2012年國家公務員考試一本通》。

 



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